1. 等距变换的离散群

本节的核心议题是研究离散群 (discrete groups)，特别是在等距变换 (isometries) 的背景下。等距变换是指在几何空间中保持距离不变的变换，比如平移、旋转、反射。而离散群则是一类特殊的等距变换群，其元素之间存在某种“最小间隔”，不会无限地“挤”在一起。

文章首先引入一个直观的例子——万花筒 (kaleidoscope)，来帮助我们理解如何通过一个给定的对称群 (symmetry group) 来生成一个复杂的、具有该对称性的图形。

1. 研究对象: 我们关注的是无界图形 (unbounded figures) 的对称群。无界图形可以无限延伸，比如一条无限长的直线，或者一个铺满整个平面的瓷砖图案。这与之前可能讨论的有界图形（如正方形、圆形）的对称性是不同的。
2. 核心方法：万花筒原理: 这是一种构造具有特定对称性图形的方法。
3. 万花筒的构造: 想象一个万花筒。它本质上是一个由两面镜子组成的管子。
   • 扇形区域: 这两面镜子在管子末端形成一个夹角为 $\theta$ 的扇形区域。这个区域是基础图案的“画布”。
   • 镜子: 两面镜子沿着管子平行放置，它们之间的夹角 $\theta$ 是关键参数。文中举例 $\theta = \pi/6$ (也就是30度)。
   • 反射: 当你向管子里看时，你不仅看到了扇形区域本身，还看到了它在两面镜子里的像。这些像是通过反射 (reflection) 变换得到的。
   • 无穷反射: 这些像又会被另一面镜子反射，产生“反射的反射”，如此无限循环下去。
   • 形成图案: 如果在扇形区域里放一些彩色玻璃碎片，这些无限的反射就会将这些碎片组合成一个复杂而高度对称的图案。

这个过程揭示了一个深刻的数学思想：通过反复应用一组基本的变换（在这里是两次反射），可以从一个简单的初始对象（扇形区域里的玻璃碎片）生成一个具有复杂对称性的整体结构。

这段话将万花筒的物理现象与抽象的群论 (group theory) 语言联系起来。

1. 群的出现: 万花筒里重复的反射操作，在数学上构成了一个群 (group)。群的元素就是这些对称操作（变换），群的运算就是操作的复合（即，先做一个变换，再做另一个）。
2. 数学建模:
   • 我们将万花筒末端的平面视为一个二维平面。
   • 两面镜子对应平面上的两条直线，记为 $\ell_1$ 和 $\ell_2$。这两条线相交于一点（通常是原点），夹角为 $\theta$。
   • 关于直线 $\ell_i$ 的反射是一个等距变换，我们将其记为 $r_i$。
3. 生成元与二面体群:
   • 这个对称群是由两个基本操作——反射 $r_1$ 和 $r_2$ ——生成 (generated) 的。这意味着群里所有的对称操作都可以通过反复组合 $r_1$ 和 $r_2$ 得到（例如 $r_1, r_2, r_1r_2, r_2r_1, r_1r_2r_1, \dots$）。
   • 由两条相交直线上的反射生成的群，被称为二面体群 (dihedral group)。二面体群 $D_n$ 通常被定义为正 $n$ 边形的对称群，它包含 $n$ 个旋转和 $n$ 个反射。在这里，如果 $2\theta = 2\pi/n$，那么生成的群就是 $D_n$。
4. 反射的乘积是旋转:
   • 考虑两个反射的乘积 (product)，也就是它们的复合操作 $r_1 r_2$（表示先做 $r_2$ 反射，再做 $r_1$ 反射）。
   • 反射是一种改变定向 (orientation-reversing) 的变换。例如，一个左手手套经过反射会变成一个右手手套。
   • 两个改变定向的变换复合在一起，其效果是保持定向 (orientation-preserving) 的。想象一下，左手手套变右手，再变回左手。
   • 在平面上，保持定向且固定一个点（这里是 $\ell_1$ 和 $\ell_2$ 的交点）的等距变换必然是一个旋转 (rotation)。
5. 旋转角度的计算:
   • 这个由 $r_1 r_2$ 产生的旋转，其旋转角度是两条反射线夹角 $\theta$ 的两倍，即 $2\theta$。方向取决于操作的顺序（$r_1 r_2$ 还是 $r_2 r_1$），所以旋转角度是 $\pm 2\theta$。

这一段将万花筒原理从特定的二面体群推广到一个更普适的方法，用于为任意给定的等距变换群 $G$ 构造一个具有该对称性的图形 $F$。

1. 推广: 前面讨论的是由两次反射生成的群，现在我们考虑 $M$（所有平面等距变换构成的群）的任意一个子群 $G$。这个 $G$ 可以包含平移、旋转、反射、滑移反射等各种变换。
2. 构造方法:
   • 第一步：选择一个初始图形 $R$: 这个 $R$ 被描述为“随机图形 (random figure)”。“随机”的意义在于，它本身不应具有任何特殊的对称性。如果 $R$ 本身就是一个对称图形（比如一个圆），那么最终生成的图形 $F$ 的对称性可能会比 $G$ 更高。例如，一个点或者一个不对称的墨迹都可以作为 $R$。
   • 第二步：应用群 $G$ 的所有元素: 对初始图形 $R$，我们应用群 $G$ 中的每一个变换 $g$。每次应用都会得到一个新的图形，记为 $gR$。这可以想象成用一个“图章” $R$，在群 $G$ 指示的所有位置和方向上都盖一次。
   • 第三步：取并集: 将所有这些变换后的图形 $gR$ (对于所有 $g \in G$) 全部合并起来，形成最终的大图形 $F$。即 $F = \bigcup_{g \in G} gR$。
3. 验证对称性: 为什么图形 $F$ 的对称群就是 $G$？
   • 取 $F$ 上的任意一个点，这个点必然属于某个 $gR$。
   • 现在我们对整个图形 $F$ 应用群 $G$ 中的任意一个变换 $h$。
   • 变换 $h$ 作用在 $F$ 的一个组成部分 $gR$ 上，会得到 $h(gR)$。根据群的复合规则，这等于 $(hg)R$。
   • 由于 $h$ 和 $g$ 都是 $G$ 的元素，它们的乘积 $hg$ 也必然是 $G$ 的元素（这是群的封闭性）。
   • 所以，$(hg)R$ 也是构成 $F$ 的一个部分。
   • 这意味着，用 $h$ 变换 $F$ 的任何一部分，都会得到 $F$ 的另一部分。因此，整个图形 $F$ 在变换 $h$ 下保持不变，即 $h(F) = F$。
   • 这就证明了 $G$ 中的任何元素都是 $F$ 的一个对称操作，所以 $G$ 是 $F$ 的对称群的子群。
   • “如果 R 足够随机”: 这个条件是为了保证 $F$ 的对称群恰好是 $G$，而不会有额外的对称性。如果 $R$ 本身有对称性，可能会导致 $F$ 的对称群比 $G$更大。
4. 示例: 图片展示了当 $G$ 是正五边形的对称群（即二面体群 $D_5$）时，应用此方法生成的一个图形。$D_5$ 有10个元素（5个旋转，5个反射）。从一个初始的随机图形（比如图片中的某个小叶片或线条），通过10个对称操作复制和变换，最终组合成了这个美丽的图案。

1. 对称群的非唯一性: 作者指出，对称性是一种结构属性，许多外观完全不同的图形可能拥有完全相同的对称群。
   • 例如，一个正方形、一个风车形状（四片叶片）、以及四个点 $\{(1,1), (-1,1), (-1,-1), (1,-1)\}$，它们的对称群都是同一个二面体群 $D_4$。
   • 因此，研究的重点不应该是无穷无尽的图形本身，而是它们背后的对称结构——也就是那些对称群。
2. 分类的目标: 作者预告，接下来的目标是对这些对称群进行分类 (classification)。分类是数学中的一个核心思想，即将无限的研究对象根据某些共同属性划分成有限的几类。
3. “狂野”群的排除: 不是所有的等距变换群都适合进行几何研究。有些群的行为非常复杂和混乱，无法生成具有“合理几何结构”（如重复、规则图案）的图形。这些群被称为“狂野的 (wild)”。
4. “狂野”群的例子:
   • 回到万花筒的例子。我们之前看到，当两面镜子的夹角 $\theta$ 使得 $2\theta$ 是 $2\pi$ (即 $360^\circ$) 的整数分之一时（即 $\theta = \pi/n$ for integer $n$），我们会得到一个漂亮的、有限重对称的图案。
   • 现在考虑相反的情况：如果 $\theta$ 是 $2\pi$ 的一个无理数倍，例如 $\theta = 1$ 弧度 (大约 $57.3^\circ$)。那么 $2\theta=2$ 弧度。$2\pi$ 除以 $2$ 不是一个有理数。
   • 在这种情况下，每次反射生成的扇形区域的像，其角度都不会与之前的像重合。这些像会不断地以新的角度出现，无限地填充下去，但永远不会“闭合”形成一个规则的图案。整个图案会显得杂乱无章，并且在任意小的角度范围内都会有新的反射像出现。
5. 引入“离散”概念的动机: 为了避免这种“狂野”的行为，我们需要对所研究的群施加一个限制条件。这个条件就是离散性 (discreteness)。直观地说，离散性要求群中的变换不能“无限地相互靠近”。在万花筒的例子中，这意味着旋转的角度不能任意地小。

这是本节的核心定义，它精确地描述了什么是离散等距变换群 (discrete group of isometries)。

1. 直观定义: 首先给出一个直观的描述：“不包含任意小的平移或旋转”。
   • 没有任意小的平移: 你不能在这个群里找到一个平移，其移动距离要多短有多短。所有平移的距离都有一个最小的“门槛”。
   • 没有任意小的旋转: 你不能在这个群里找到一个旋转，其转动角度要多小有多小。所有旋转的角度也有一个最小的“门槛”。
2. 精确定义: 接下来是用数学语言给出的严格定义。
   • 存在一个 $\epsilon > 0$: 这是关键。必须存在一个统一的、正的实数 $\epsilon$（epsilon），作为所有平移和旋转的“最小门槛”。这个 $\epsilon$ 对整个群 $G$ 都有效。
   • (i) 对平移的限制:
   • 考察群 $G$ 中所有的平移 (translation) 变换。每个平移都由一个平移向量 $a$ 定义。
   • 如果这个平移不是恒等变换（即，它确实移动了点），那么它的平移向量 $a$ 就不是零向量。
   • 对于所有这些非零的平移向量 $a$，它们的长度（模长）$|a|$ 必须大于或等于我们之前说的那个 $\epsilon$。
   • 换句话说，群 $G$ 中最短的非零平移距离就是 $\epsilon$（或者比 $\epsilon$ 更大）。
   • (ii) 对旋转的限制:
   • 考察群 $G$ 中所有的旋转 (rotation) 变换。每个旋转都绕着某个中心点转动一个角度 $\theta$。
   • 如果这个旋转不是恒等变换（即，它确实转动了图形），那么它的旋转角度 $\theta$ 就不是零（或 $2\pi$ 的整数倍）。
   • 对于所有这些非零的旋转角度 $\theta$，它们的绝对值 $|\theta|$ 必须大于或等于同一个 $\epsilon$。
   • 换句话说，群 $G$ 中最小的非零旋转角度就是 $\epsilon$（或者比 $\epsilon$ 更大）。

这是一个对定义的补充说明，解释了为什么用一个统一的 $\epsilon$ 是合理的。

1. 两种不同的量: 定义中限制了两种物理量：
   • 平移向量的长度，单位是距离（例如米）。
   • 旋转的角度，单位是弧度或度。
2. 更精确的做法: 作者承认，一个更严谨或更细致的定义可能会使用两个不同的下限：
   • 一个 $\epsilon_{trans} > 0$ 作为平移距离的下限。
   • 一个 $\epsilon_{rot} > 0$ 作为旋转角度的下限。
3. 当前定义的简化: 为什么教科书中不采用这种更精确的方式？
   • 不关心最佳界限: 在这个定义的层面，我们只关心是否存在一个下限，而不关心这个下限具体是多少。我们不追求找到那个“最大”的可能的 $\epsilon$。
   • 简化处理: 既然我们不关心具体值，那么只要 $\epsilon_{trans}$ 和 $\epsilon_{rot}$ 都存在，我们总可以取它们中较小的那一个（当然，要注意单位不同，不能直接比较数值，这里是取一个足够小的无单位数 $\epsilon_0$，然后要求平移距离大于 $\epsilon_0$ 米，旋转角度大于 $\epsilon_0$ 弧度），或者干脆就抽象地声明存在一个 $\epsilon$。
   • 选择一个足够小的 $\epsilon$: 只要能找到 $\epsilon_{trans}$ 和 $\epsilon_{rot}$，我们总能找到一个足够小的 $\epsilon$ (例如 $\epsilon = \min(1, \epsilon_{trans}, \epsilon_{rot})$，如果把它们都看作无单位的纯数字)，使得它比这两个下限都小。那么如果 $|a| \ge \epsilon_{trans}$，则必然有 $|a| \ge \epsilon$。同样，如果 $|\theta| \ge \epsilon_{rot}$，也必然有 $|\theta| \ge \epsilon$。所以使用一个统一的、足够小的 $\epsilon$ 在逻辑上是等价的，并且更简洁。

这段话解释了离散性定义如何间接地影响到其他类型的等距变换，特别是滑移反射。

1. 回顾等距变换分类: 平面上的等距变换可以分为两类：
   • 保向等距变换 (orientation-preserving isometries): 保持图形的“左右手性”不变。这类变换包括平移 (translations) 和旋转 (rotations)。定义 6.5.1 直接对这两者施加了条件。
   • 变向等距变换 (orientation-reversing isometries): 改变图形的“左右手性”。这类变换包括反射 (reflections) 和滑移反射 (glide reflections)。
2. 定义中未提及的变换: 你可能会问，为什么定义只提了平移和旋转，而没有提反射和滑移反射？
   • 反射: 一个孤立的反射变换自身没有“距离”或“角度”的概念（反射轴的位置可以是任意的）。它不会导致“无限拥挤”的问题。
   • 滑移反射: 这是一种复合变换，由沿着一条直线 $\ell$ 的反射和沿着同一条直线 $\ell$ 的平移（由向量 $v$ 定义）组成。这个平移向量 $v$ 被称为滑移向量。
3. 对滑移反射的间接限制:
   • 考虑一个滑移反射 $m$，其滑移向量为 $v$ ($v \neq 0$)。
   • 我们对 $m$ 进行平方，即连续做两次这个变换：$m^2 = m \circ m$。
   • 第一次 $m$: 反射 + 平移 $t_v$。
   • 第二次 $m$: 反射 + 平移 $t_v$。
   • 总效果是：(反射 + 平移 $t_v$) $\circ$ (反射 + 平移 $t_v$)。
   • 由于沿着同一条线的两次反射会相互抵消（变向再变向等于保向），所以反射部分消失了。
   • 平移部分则会叠加：$t_v \circ t_v = t_{v+v} = t_{2v}$。
   • 因此，$m^2$ 是一个纯平移，其平移向量是 $2v$。
4. 推论:
   • 因为 $m$ 是群 $G$ 中的元素，所以 $m^2$ 也必须在群 $G$ 中（群的封闭性）。
   • 我们知道 $m^2 = t_{2v}$ 是一个平移。根据离散性的定义(i)，如果这个平移非零（即 $v \neq 0$），那么它的平移向量的长度必须满足 $|2v| \ge \epsilon$。
   • $|2v| = 2|v|$，所以 $2|v| \ge \epsilon$，这意味着 $|v| \ge \epsilon/2$。
   • 这就得出了一个结论：群 $G$ 中所有滑移反射的非零滑移向量 $v$ 的长度，也存在一个正的下限（即 $\epsilon/2$）。
   • 因此，对平移的限制自动地包含了对滑移反射的限制，无需在定义中额外说明。

这一段是路线图，预告了接下来分析离散群 $G$ 的结构时将要使用的三大核心工具或视角。这是将一个复杂的等距变换群 $G$ 分解成更简单、更易于理解的部分的策略。

1. 第一个工具：平移群 L (Translation Group)
   • 定义: 在一个离散群 $G$ 中，可能包含一些纯粹的平移变换。把 $G$ 里面所有的平移变换收集起来，它们自身也构成一个群，称为 $G$ 的平移子群 (subgroup of translations)。
   • 对应的向量群 $L$: 更方便的做法是，不考虑平移变换本身，而是考虑与这些平移变换对应的平移向量。所有这些平移向量的集合，在向量加法下也构成一个群。这个向量群被记为 $L$。$L$ 是所有平移向量空间 $V$ (即 $\mathbb{R}^2$) 的一个子群。
   • 作用: 这个工具关注的是群 $G$ 的“周期性”或“晶格”结构。$L$ 描述了图形在空间中是如何重复平移的。
2. 第二个工具：点群 $\bar{G}$ (Point Group)
   • 定义: 每个等距变换 $g \in G$ 都可以被分解为一个旋转/反射部分和一个平移部分（例如 $g = t_b \varphi$，其中 $\varphi \in O_2$）。这个 $\varphi$ 部分是一个正交变换 (orthogonal transformation)，它描述了变换的“旋转和反射”特性，而忽略了平移。
   • 把群 $G$ 中所有元素的这个“旋转/反射”部分 ($\varphi$) 收集起来，它们在正交群 $O_2$（所有 $2 \times 2$ 正交矩阵构成的群）中也形成一个群。这个群被称为 $G$ 的点群 $\bar{G}$。
   • 作用: 这个工具关注的是群 $G$ 的“对称朝向”，即它包含了哪些角度的旋转和哪些方向的反射，而不关心这些操作在平面的哪个位置发生。它描述了图形“局部”的对称性。
3. 第三个工具：$\bar{G}$ 在 $L$ 上的作用 (Action of $\bar{G}$ on $L$)
   • 定义: 这不是一个独立的群，而是一种关系或相互作用 (interaction)。点群 $\bar{G}$ 的元素是旋转和反射，它们可以作用在平移群 $L$ 的向量上。
   • 作用: 这个工具描述了群的“平移部分”和“旋转/反射部分”是如何相互协调、相互制约的。例如，如果一个晶格（由 $L$ 描述）具有某种平移对称性，那么任何施加于其上的旋转对称性（由 $\bar{G}$ 描述）都不能破坏这个晶格结构。一个正方形的晶格可以有90度旋转，但不能有60度旋转。这种制约关系被称为晶体学限制 (crystallographic restriction)，是后面要讨论的核心内容。

这一段正式定义了第一个分析工具——平移群 $L$。

1. 背景: 我们正在分析一个给定的等距变换群 $G$。这个群 $G$ 里面可能有很多种变换，比如旋转、反射，也可能有一些纯粹的平移。
2. 定义: 我们把 $G$ 中所有的纯平移变换都挑出来。每一个这样的平移变换都唯一对应一个平移向量 $v$。我们将所有这些平移向量 $v$ 收集起来，形成一个集合，这个集合就被命名为 $L$。
3. 符号化定义:
   • $L$ 是一个向量的集合。
   • 一个向量 $v$ 属于集合 $L$ 的条件是：以 $v$ 为平移向量的平移变换 $t_v$ 必须是群 $G$ 的一个元素。
   • $V$ 代表所有可能的二维向量组成的空间（即 $\mathbb{R}^2$）。$L$ 是 $V$ 的一个子集。

这段话阐述了 $L$ 的两个重要性质：它是一个群，并且它继承了 $G$ 的离散性。

1. $L$ 是一个群: 为了证明 $L$ 在向量加法下构成一个群，需要验证群的三个公理：
   • 封闭性: 如果向量 $v$ 和 $w$ 都在 $L$ 中，那么它们的和 $v+w$ 是否也在 $L$ 中？
   • $v \in L$ 意味着平移 $t_v \in G$。
   • $w \in L$ 意味着平移 $t_w \in G$。
   • 因为 $G$ 是一个群，所以两个元素的复合也在 $G$ 中：$t_v t_w \in G$。
   • 而平移的复合等于向量的和的平移：$t_v t_w = t_{v+w}$。
   • 所以，$t_{v+w} \in G$。根据 $L$ 的定义，这意味着向量 $v+w$ 必须在 $L$ 中。封闭性成立。
   • 单位元: $L$ 中必须有单位元，即零向量 $0$。
   • 群 $G$ 必须有单位元，即恒等变换 $I$。
   • 恒等变换可以看作是零向量平移 $t_0$。所以 $t_0 \in G$。
   • 根据 $L$ 的定义，这意味着 $0 \in L$。单位元存在。
   • 逆元: 如果向量 $v$ 在 $L$ 中，它的加法逆元 $-v$ 是否也在 $L$ 中？
   • $v \in L$ 意味着平移 $t_v \in G$。
   • 因为 $G$ 是一个群，所以 $t_v$ 的逆变换 $(t_v)^{-1}$ 也必须在 $G$ 中。
   • 平移 $t_v$ 的逆是反向平移 $t_{-v}$，即 $(t_v)^{-1} = t_{-v}$。
   • 所以，$t_{-v} \in G$。根据 $L$ 的定义，这意味着向量 $-v$ 必须在 $L$ 中。逆元存在。
   • 结论: $L$ 满足群的所有公理，所以 $L$ 是一个群。它是所有平移向量构成的加法群 $V^+$ 的一个子群。
2. $L$ 是离散的:
   • 我们研究的 $G$ 是一个离散群。根据定义 6.5.1，存在一个 $\epsilon > 0$ 使得 $G$ 中任何非零平移 $t_v$ 的向量长度 $|v| \ge \epsilon$。
   • $L$ 的定义是，它包含了 $G$ 中所有平移所对应的向量。
   • 因此，这个条件直接“遗传”给了 $L$：对于 $L$ 中的任何非零向量 $v$，它的长度必须满足 $|v| \ge \epsilon$。
   • 这正是向量群离散的定义。所以，$L$ 是 $V^+$ 的一个离散子群。
3. 离散子群的正式定义:
   • 在这一小段的末尾，作者给出了 $\mathbb{R}^n$ (这里是 $n=2$) 中离散子群的正式定义，它完全依赖于向量长度的下限。一个子群 $L$ 是离散的，当且仅当存在一个 $\epsilon > 0$，使得 $L$ 中所有非零向量的长度都大于等于 $\epsilon$。这与我们刚刚为 $L$ 推导出的性质完全吻合。

这段话给出了离散子群定义的另一个等价的、更具几何直观的表述。

1. 原始定义回顾: $L$ 是离散的 $\iff$ 存在 $\epsilon > 0$ 使得对所有非零向量 $v \in L$，都有 $|v| \ge \epsilon$。这个定义关注的是向量到原点的距离。
2. 等价定义: $L$ 是离散的 $\iff$ 存在 $\epsilon > 0$ 使得对所有不相等的向量 $a, b \in L$，它们之间的距离 $|b-a|$ 至少为 $\epsilon$。这个定义关注的是任意两个不同点之间的距离。
3. 证明等价性: 为什么这两个定义是等价的？
   • 从 "原点距离" 推导 "任意点距离":
   • 假设原始定义成立，即存在 $\epsilon>0$ 使得所有非零 $v \in L$ 都有 $|v| \ge \epsilon$。
   • 现在取 $L$ 中任意两个不相等的向量 $a$ 和 $b$ ($a \neq b$)。
   • 因为 $L$ 是一个群， $a \in L$ 且 $b \in L$，那么它们的差 $b-a$ 也一定在 $L$ 中（因为 $b-a = b + (-a)$，而 $-a$ 是 $a$ 的逆元，也在 $L$ 中）。
   • 由于 $a \neq b$，它们的差 $b-a$ 是一个非零向量。
   • 既然 $b-a$ 是 $L$ 中的一个非零向量，根据我们的假设，它的长度必须满足 $|b-a| \ge \epsilon$。
   • 而 $|b-a|$ 正是点 $a$ 和点 $b$ 之间的欧几里得距离。
   • 所以，我们证明了任意两个不同点之间的距离至少为 $\epsilon$。
   • 从 "任意点距离" 推导 "原点距离":
   • 假设等价定义成立，即存在 $\epsilon>0$ 使得对所有 $a, b \in L$ 且 $a \neq b$，都有 $|b-a| \ge \epsilon$。
   • 现在取 $L$ 中任意一个非零向量 $v$ ($v \neq 0$)。
   • 我们可以把这个 $v$ 看作是两个向量的差：$v = v - 0$。
   • 因为 $L$ 是一个群，零向量 $0$ 肯定在 $L$ 中。
   • 现在我们有两个 $L$ 中的不同向量：$a=v$ 和 $b=0$ (这里原文用的a,b，我们换成v,0以清晰)。不，应该是 $a=v$ 和 $b=0$。
   • 根据假设，这两个不同向量之间的距离必须满足 $|v-0| \ge \epsilon$。
   • $|v-0|$ 就是 $|v|$。
   • 所以我们证明了 $|v| \ge \epsilon$。
4. 结论: 两个定义是完全等价的。

这是本节的第一个主要定理，它对二维平面中所有的离散加法子群进行了完全的分类。定理指出，这样的群只有三种可能的形式。

1. 定理的适用对象: 作用于 $V^+$ 或 $\mathbb{R}^{2+}$ 的离散子群 $L$。$V^+$ 指的是几何向量的加法群，$\mathbb{R}^{2+}$ 指的是坐标向量的加法群，两者是同构的。离散意味着 $L$ 中的非零向量长度有正的下限。
2. 分类结果: 这样的 $L$ 必定是以下三种类型中的一种，且仅能是一种。
   • (a) 零群 (The zero group):
   • $L = \{0\}$。
   • 这是最简单的情况，群里只有一个元素，即零向量。
   • 几何上，这对应一个没有任何平移对称性的图形（或者说，只有恒等变换这一个平移对称性）。
   • (b) 一维格 (A 1-dimensional lattice):
   • $L = \mathbb{Z}a = \{ ma \mid m \in \mathbb{Z} \}$，其中 $a$ 是一个固定的非零向量。
   • 这个集合包含了向量 $a$ 的所有整数倍，例如 $..., -2a, -a, 0, a, 2a, ...$。
   • 几何上，这些点在一条穿过原点的直线上等距分布。这对应于一个只在一个方向上具有周期性平移对称的图形，比如一条无限长的饰带图案或一道篱笆。
   • (c) 二维格 (A 2-dimensional lattice):
   • $L = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b = \{ ma + nb \mid m, n \in \mathbb{Z} \}$，其中 $a$ 和 $b$ 是两个线性无关 (linearly independent) 的向量。
   • 线性无关意味着 $a$ 和 $b$ 不在同一条直线上。它们可以作为平面的一组基 (basis)。
   • 这个集合包含了 $a$ 和 $b$ 的所有整系数线性组合。
   • 几何上，这些点构成一个覆盖整个平面的、由平行四边形组成的网格。这对应于一个在两个不同方向上都具有周期性平移对称的图形，比如壁纸、瓷砖或晶体结构。这种群也叫格 (lattice)。

这一小段是对定理 6.5.5(c) 中出现的结构给出的正式命名。

1. 格 (Lattice):
   • 定理 6.5.5(c) 中描述的群类型，$L=\mathbb{Z} a+\mathbb{Z} b=\{m a+n b \mid m, n \in \mathbb{Z}\}$，有一个专门的名字，叫做格。
   • 在二维空间中，一个格就是由两个线性无关的向量 $a$ 和 $b$ 的所有整系数线性组合构成的点集。
   • 这个词在固体物理和晶体学中非常常用，用来描述晶体中原子的规则排列。
2. 格基 (Lattice Basis):
   • 用于生成这个格的两个线性无关的向量 $(a,b)$ 组成的集合，被称为格的一个基，或格基。
   • 基的选择不是唯一的。同一个格可以由不同的格基生成。例如，对于整数格点 $\mathbb{Z}^2$，$(a=(1,0), b=(0,1))$ 是一个格基。但 $(a'=(1,0), b'=(1,1))$ 也是一个格基，因为任何整数点 $(m,n)$ 都可以表示为 $(m-n)a' + n b'$，系数 $(m-n)$ 和 $n$ 也是整数。反之， $a'$ 和 $b'$ 也可以由 $a,b$ 表示。
   • 不同的格基所张成的平行四边形（称为原胞 (primitive cell)）的面积是相同的。

这个引理描述了离散子群 $L$ 的两个关键性质，这两个性质是证明主定理 6.5.5 的基石。

性质 (a): 有界区域内只有有限个点

1. 陈述: 任何一个有界区域 (bounded region)，无论它多大，里面最多只能包含 $L$ 的有限多个点。
2. 什么是“有界区域”: 一个区域是有界的，如果它可以被一个足够大的圆或矩形完全包围起来。
3. 证明思路:
   • 我们知道 $L$ 是离散的，这意味着任意两个不同的点 $a,b \in L$ 之间的距离 $|a-b|$ 都有一个正的下限 $\epsilon$。
   • 想象在每个 $L$ 的点上都画一个小圆盘，半径为 $\epsilon/2$。由于任意两点距离至少为 $\epsilon$，这些小圆盘是互不相交的。
   • 现在考虑一个有界区域 $R$。假设 $R$ 的面积是 $A_R$。
   • 每个落在 $R$ 里的 $L$ 的点，都贡献了一个面积为 $\pi(\epsilon/2)^2$ 的小圆盘的一部分。
   • 由于这些小圆盘不相交，它们在 $R$ 内部的总面积不能超过 $R$ 的面积 $A_R$。
   • 如果 $R$ 中有 $N$ 个 $L$ 的点，那么这些圆盘的总面积（的一个下界）大约是 $N \times (\text{某个小面积})$。这个总面积必须小于一个有限的数（有界区域的面积）。
   • 因此，点的数量 $N$ 必须是有限的。
   • 书中的证明更简单：用边长为 $\epsilon$ 的小方块覆盖有界区域。每个小方块里最多只能有一个 $L$ 的点（如果一个小方块里有两个点，它们的距离会小于 $\sqrt{\epsilon^2+\epsilon^2} = \sqrt{2}\epsilon$，这还不够严谨。更严谨的说法是，用边长为 $\epsilon/\sqrt{2}$ 的小方块，这样方块内任意两点距离小于 $\epsilon$）。既然有界区域可以用有限个小方块覆盖，那么点的总数就是有限的。

性质 (b): 存在长度最小的非零向量

1. 陈述: 只要 $L$ 不仅仅是零群 $\{0\}$（即 $L$ 中至少有一个非零向量），那么 $L$ 中必然存在一个或多个长度最小的非零向量。
2. 什么是“长度最小的非零向量”: 一个向量 $v \in L$ ($v \neq 0$)，如果对于任何其他非零向量 $w \in L$，都有 $|v| \le |w|$。
3. 证明思路:
   • 前提: $L$ 不是平凡群，所以我们知道至少存在一个非零向量。我们随便抓一个，叫它 $a_0$。它的长度是 $|a_0|$。
   • 构造一个搜索范围: 考虑一个以原点为中心，半径为 $|a_0|$ 的闭圆盘 $D$。这是一个有界区域。
   • 应用性质 (a): 根据刚刚证明的性质 (a)，这个有界圆盘 $D$ 中只包含 $L$ 的有限个点。
   • 找到候选者: 我们要找的是 $L$ 中长度最小的非零向量。所有这样的候选者，其长度肯定不会超过 $|a_0|$（因为 $a_0$ 本身就是一个候选者）。所以，我们要找的最小向量一定也位于圆盘 $D$ 内部。
   • 有限集里找最小: 我们现在有一个有限的、非空的（至少包含 $a_0$）向量集合，即 $L \cap D \setminus \{0\}$。在一个有限的实数集合（这些向量的长度）中，必然存在一个最小值。
   • 结论: 对应的那个或那些向量，就是 $L$ 中长度最小的非零向量。

这段话定义了两个在证明中非常有用的几何区域：一个闭合的平行四边形和一个“半开”的平行四边形。

1. 背景: 我们在处理由两个线性无关向量 $u, w$ 生成的格。这两个向量可以看作是 $\mathbb{R}^2$ 的一个基。这个基自然地定义了一个基本的构建块——一个平行四边形。
2. 闭合平行四边形 $\Pi(\mathbf{B})$:
   • 基: $\mathbf{B}=(u,w)$，其中 $u, w$ 是两个线性无关的向量。
   • 顶点: 这个平行四边形有四个顶点：原点 $0$，向量 $u$ 的终点，向量 $w$ 的终点，以及向量 $u+w$ 的终点。
   • 定义: $\Pi(\mathbf{B})$ 是由向量 $u$ 和 $w$ 张成的闭合平行四边形区域。
   • 参数化描述: 区域内的任何一个点 $p$ 都可以表示为 $p = ru + sw$，其中系数 $r$ 和 $s$ 的取值范围是 $0 \le r \le 1$ 和 $0 \le s \le 1$。
   • 包含边界: 因为 $r$ 和 $s$ 都可以等于1，所以这个区域包含了它所有的四条边界。
3. 半开平行四边形 $\Pi'(\mathbf{B})$:
   • 定义: $\Pi'(\mathbf{B})$ 是从闭合平行四边形 $\Pi(\mathbf{B})$ 中“挖掉”两条边后的区域。
   • 挖掉哪两条边: 挖掉的是不与原点相邻的两条边。一条是从 $u$ 到 $u+w$ 的边，另一条是从 $w$ 到 $u+w$ 的边。
   • 参数化描述: 区域内的任何一个点 $p$ 都可以表示为 $p = ru + sw$，其中系数 $r$ 和 $s$ 的取值范围是 $0 \le r < 1$ 和 $0 \le s < 1$。
   • 不包含部分边界: 因为 $r<1$ 且 $s<1$，所以这个区域包含了从 $0$ 到 $u$ 和从 $0$ 到 $w$ 的两条边（除了端点 $u$ 和 $w$），但不包含另外两条边。这种“半开”的定义非常关键，因为它能不重不漏地铺满整个平面。

这个引理及其证明是格理论中的一个基本结果，可以类比为实数的“整数部分和小数部分”分解。

引理陈述

1. 前提:
   • 有一个基 $\mathbf{B}=(u,w)$，这意味着 $u,w$ 线性无关。
   • 有一个由这个基生成的格 $L = \mathbb{Z}u + \mathbb{Z}w$。
2. 结论:
   • 对于平面上任意一个向量 $v$，都存在一种唯一的分解方式，将其写成两部分之和：$v = x + v_0$。
   • 第一部分 $x$: 必须是格 $L$ 中的一个点（一个整数组合）。
   • 第二部分 $v_0$: 必须落在我们刚刚定义的半开平行四边形 $\Pi'(\mathbf{B})$ 区域内。

证明解析

1. 存在性证明 (如何进行分解):
   • 第一步: 因为 $(u,w)$ 是 $\mathbb{R}^2$ 的一个基，所以任何向量 $v$ 都可以唯一地表示为它们的实数线性组合：$v = ru + sw$，其中 $r,s$ 是实数。
   • 第二步: 对实数系数 $r$ 和 $s$ 分别进行“取整”。任何一个实数 $r$ 都可以唯一地分解为一个整数部分 $m$ 和一个小数部分 $r_0$，其中 $m = \lfloor r \rfloor$ 是不大于 $r$ 的最大整数，$r_0 = r - m$ 满足 $0 \le r_0 < 1$。
   • 我们写出 $r = m + r_0$ (其中 $m \in \mathbb{Z}$, $0 \le r_0 < 1$)。
   • 同样地，$s = n + s_0$ (其中 $n \in \mathbb{Z}$, $0 \le s_0 < 1$)。
   • 第三步: 将这个分解代入 $v$ 的表达式：
   • $v = (m+r_0)u + (n+s_0)w$
   • 利用向量加法的分配律展开：$v = (mu + nw) + (r_0u + s_0w)$。
   • 第四步: 识别分解出的两部分：
   • 令 $x = mu + nw$。因为 $m, n$ 都是整数，所以根据格 $L$ 的定义，$x$ 正是 $L$ 中的一个元素。
   • 令 $v_0 = r_0u + s_0w$。因为 $0 \le r_0 < 1$ 且 $0 \le s_0 < 1$，所以根据半开平行四边形 $\Pi'(\mathbf{B})$ 的定义，$v_0$ 正是 $\Pi'(\mathbf{B})$ 中的一个元素。
   • 这样，我们就成功地将 $v$ 分解成了 $v = x + v_0$ 的形式，证明了这种分解的存在性。
2. 唯一性证明:
   • 假设存在两种不同的分解方式：
   • $v = x_1 + v_{0,1}$
   • $v = x_2 + v_{0,2}$
   • 其中 $x_1, x_2 \in L$，$v_{0,1}, v_{0,2} \in \Pi'(\mathbf{B})$。
   • 让这两个表达式相等：$x_1 + v_{0,1} = x_2 + v_{0,2}$。
   • 移项整理：$x_1 - x_2 = v_{0,2} - v_{0,1}$。
   • 分析等式左边：$x_1$ 和 $x_2$ 都是格点，因为 $L$ 是一个群，$x_1 - x_2$ 也必然是一个格点，即 $x_1 - x_2 \in L$。
   • 分析等式右边：$v_{0,1}$ 和 $v_{0,2}$ 都在 $\Pi'(\mathbf{B})$ 中。
   • $v_{0,1} = r_1 u + s_1 w$，其中 $0 \le r_1, s_1 < 1$。
   • $v_{0,2} = r_2 u + s_2 w$，其中 $0 \le r_2, s_2 < 1$。
   • 它们的差是 $v_{0,2} - v_{0,1} = (r_2-r_1)u + (s_2-s_1)w$。
   • 由于 $0 \le r_1, s_1, r_2, s_2 < 1$，所以系数的范围是 $-1 < r_2-r_1 < 1$ 和 $-1 < s_2-s_1 < 1$。
   • 现在我们有一个向量 $X = x_1 - x_2 = v_{0,2} - v_{0,1}$。这个向量 $X$ 既在格 $L$ 中，又可以表示为 $r'u+s'w$ 的形式，其中 $-1 < r', s' < 1$。
   • 但是，在格 $L$ 中，向量的形式是 $mu+nw$，其中 $m, n$ 是整数。唯一同时满足 $m,n$ 是整数且 $-1 < m,n < 1$ 的情况是 $m=0, n=0$。
   • 所以，向量 $X$ 必须是零向量 $0$。
   • $x_1 - x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$。
   • $v_{0,2} - v_{0,1} = 0 \implies v_{0,1} = v_{0,2}$。
   • 这证明了分解是唯一的。

这是定理 6.5.5 的证明，它是一个构造性的证明，展示了如何为任何一个离散子群 $L$ 找到它的生成元。

证明结构

证明分为几种情况：

• 平凡情况: 如果 $L = \{0\}$，这直接对应于分类 (a)。证明结束。
• 非平凡情况 ($L \neq \{0\}$): 这时 $L$ 至少包含一个非零向量。又分为两种子情况。

情况 1: $L$ 的所有向量都在一条直线上 (共线)

1. 设定: 假设 $L$ 中所有向量都位于某条穿过原点的直线 $\ell$ 上。
2. 转化为一维问题: 直线 $\ell$ 上的向量加法群 $\ell^+$ 与实数加法群 $\mathbb{R}^+$ 是同构的。$L$ 可以看作是 $\mathbb{R}^+$ 的一个离散子群。
3. 引用一维结果: 教科书在之前的章节（引理 6.4.6）已经证明了 $\mathbb{R}^+$ 的离散子群只有两种形式：要么是 $\{0\}$（已被排除），要么是形如 $\mathbb{Z}a$ 的形式，其中 $a$ 是群里绝对值最小的非零元素。
4. 结论: 因此，在这种情况下，$L$ 必须是 $\mathbb{Z}a$ 的形式，其中 $a$ 是 $L$ 中长度最小的非零向量（根据引理 6.5.7(b)，这样的 $a$ 必然存在）。这对应于分类 (b)。

情况 2: $L$ 的元素不都在一条直线上 (不共线)

这是证明的核心和最复杂的部分。我们的目标是证明 $L$ 是一个由两个线性无关向量生成的格（分类 (c)）。

1. 构造第一基向量 $a$:
   • 根据引理 6.5.7(b)，因为 $L \neq \{0\}$，所以 $L$ 中必然存在一个长度最小的非零向量。我们把这个向量命名为 $a$。这就是我们基的第一个候选向量。
   • 由 $a$ 生成的一维子群 $\mathbb{Z}a$ 肯定在 $L$ 中。
2. 寻找第二基向量 $b$:
   • 存在性: 因为我们处于情况2，所以 $L$ 中的元素不都在一条直线上。这意味着，必然存在一个向量 $b' \in L$ 它不与 $a$ 共线。
   • 构造候选集合: 我们现在要从所有不与 $a$ 共线的 $L$ 中的向量里，选出一个“最好”的 $b$。什么样的最好呢？一个好的标准是，它离直线 $\ell_a$ (由 $a$ 生成的直线)“最近”。换句话说，它的垂直分量最小。
   • 最小化过程:
   • 我们可以调整坐标系，让 $a = (|a|, 0)$。现在直线 $\ell_a$ 就是 x-轴。一个向量 $v=(v_x, v_y)$ 离 x-轴的距离就是 $|v_y|$。
   • 我们考虑所有 $L$ 中 $y$ 坐标为正的向量，并寻找其中 $y$ 坐标最小的那个。根据一个与引理 6.5.7 类似的论证（在一个有界条形区域内寻找），这样的向量 $b$ 必然存在。
   • 找到了这个 $b=(b_x, b_y)$ 后，我们还可以通过减去 $a$ 的整数倍来调整它的 $x$ 坐标，使得 $0 \le b_x < |a|$。这个操作不改变 $y$ 坐标，所以 $b$ 仍然是离 x-轴最近的向量之一。这个新的 $b$ 就是我们最终选定的第二基向量。
3. 证明 $(a,b)$ 是 $L$ 的一个格基:
   • 定义 $\tilde{L}$: 令 $\tilde{L} = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b$。这是由我们找到的 $a$ 和 $b$ 生成的格。
   • 证明 $\tilde{L} = L$:
   • 显然 $\tilde{L} \subseteq L$，因为 $a,b \in L$ 且 $L$ 是群，所以它们的整数组合也都在 $L$ 里。
   • 我们现在需要证明反向的 $L \subseteq \tilde{L}$。这等价于证明 $L$ 中没有任何元素在 $\tilde{L}$ 之外。
   • 使用反证法和引理 6.5.8:
   • 假设存在一个向量 $c \in L$ 但 $c \notin \tilde{L}$。
   • 根据引理 6.5.8（应用于格 $\tilde{L}$ 和基 $(a,b)$），任何向量 $c$ 都可以唯一分解为 $c = x + c_0$，其中 $x \in \tilde{L}$ 且 $c_0 \in \Pi'((a,b))$。
   • $c_0 = c - x$。因为 $c \in L$ 且 $x \in \tilde{L} \subseteq L$，所以 $c_0$ 也必须在 $L$ 中。
   • 由于我们假设 $c \notin \tilde{L}$，所以 $c_0$ 必然是一个非零向量。
   • 现在我们有了一个非零向量 $c_0 \in L$，它位于半开平行四边形 $\Pi'((a,b))$ 中。
   • 导出矛盾:
   • $c_0$ 在 $\Pi'((a,b))$ 中意味着 $c_0 = r_0 a + s_0 b$，其中 $0 \le r_0 < 1, 0 \le s_0 < 1$。
   • 我们回到坐标系，其中 $a=(|a|,0), b=(b_x, b_y)$。
   • $c_0$ 的 $y$ 坐标是 $s_0 b_y$。
   • 因为 $0 \le s_0 < 1$，所以 $0 \le s_0 b_y < b_y$。
   • 但是我们当初选择 $b$ 时，要求它的 $y$ 坐标 $b_y$ 是所有 $L$ 中 $y$ 坐标为正的向量里最小的！
   • 现在我们找到了一个向量 $c_0 \in L$，它的 $y$ 坐标 $s_0 b_y$ 比 $b_y$ 还要小。
   • 唯一的可能性是 $c_0$ 的 $y$ 坐标为 0，即 $s_0=0$。
   • 如果 $s_0=0$，那么 $c_0 = r_0 a$。这意味着 $c_0$ 在直线 $\ell_a$ 上。
   • 同时我们知道 $c_0$ 是非零的。
   • 所以 $c_0$ 是一个在 $L$ 中的非零向量，且 $c_0=r_0 a$ 其中 $0 < r_0 < 1$ (如果$r_0=0$, $c_0$就是0了)。
   • 这意味着 $|c_0| = r_0 |a| < |a|$。
   • 这与我们最初选择 $a$ 为 $L$ 中长度最小的非零向量相矛盾！
   • 最终结论: 我们的假设“存在 $c \in L$ 但 $c \notin \tilde{L}$”是错误的。所以必须有 $L = \tilde{L} = \mathbb{Z}a + \mathbb{Z}b$。这对应于分类 (c)。

这一段引入了第二个分析工具——点群 (point group)，并解释了它是如何通过一个群同态 (group homomorphism) 得到的。

1. 回顾大的图景: 我们正在分析离散群 $G$。我们已经分析了它的平移子群 $L$。现在转向第二个工具。
2. 核心思想：剥离平移部分: 任何一个平面等距变换 $g$ 都可以被唯一地分解成一个“纯旋转/反射”部分和一个“平移”部分。例如，在坐标系中，任何等距变换 $g$ 作用于点 $v$ 都可以写成 $g(v) = Av + b$，其中 $A$ 是一个正交矩阵 (orthogonal matrix)，代表旋转/反射部分；$b$ 是一个向量，代表平移部分。
3. 同态 $\pi$:
   • 教科书在之前的章节 (6.3.10) 定义了一个同态 $\pi$。同态是一个保持群结构的映射。
   • 映射 $\pi: M \rightarrow O_2$。
   • $M$: 全体平面等距变换构成的群。
   • $O_2$: 全体 $2 \times 2$ 正交矩阵构成的群。它代表了所有绕原点进行的旋转和反射。
   • $\pi$ 的作用是：对于任何一个等距变换 $g(v)=Av+b$，$\pi(g)$ 就是它的线性部分 $A$。即 $\pi(g) = A$。
   • $\pi$ 是一个同态，意味着 $\pi(g_1 g_2) = \pi(g_1) \pi(g_2)$。也就是说，两个变换复合后的旋转/反射部分，等于它们各自旋转/反射部分的复合。
   • 核 (Kernel): 这个同态的核是所有被映射到单位元（在 $O_2$ 中是单位矩阵 $I$）的 $g \in M$。$\pi(g)=I$ 意味着 $g(v) = Iv + b = v+b$，这正是一个纯粹的平移。所以，$\ker(\pi)$ 是全体平移构成的群 $T$。
4. 限制同态到 $G$:
   • 我们现在不考虑所有的等距变换 $M$，只考虑我们感兴趣的那个离散子群 $G$。
   • 我们可以将同态 $\pi$ 的定义域限制在 $G$ 上，得到一个新的同态，记为 $\left.\pi\right|_{G}$。
   • 这个新的同态 $\left.\pi\right|_{G}: G \rightarrow O_2$ 依然把 $G$ 中的每个元素 $g$ 映射到它对应的旋转/反射矩阵 $A \in O_2$。
5. 点群 $\bar{G}$ 的定义:
   • 点群 $\bar{G}$ 被定义为这个限制同态 $\left.\pi\right|_{G}$ 的像 (image)。
   • 像的定义是：所有 $G$ 中的元素通过 $\pi$ 映射后，在目标空间 $O_2$ 中得到的所有元素的集合。
   • $\bar{G} = \text{Im}(\left.\pi\right|_{G}) = \{ \pi(g) \mid g \in G \} = \{ A \in O_2 \mid \exists g \in G, \pi(g)=A \}$。
   • 简单来说，$\bar{G}$ 就是 $G$ 中所有变换的“旋转/反射”部分所构成的集合。根据同态基本定理，一个同态的像总是一个群，所以 $\bar{G}$ 是 $O_2$ 的一个子群。

这是一个关于符号约定的重要说明。

1. 区分的必要性:
   • $G$ 的元素 $g$ 是一个等距变换，它是一个函数，作用于整个平面 $P$。例如，$g$ 可以是绕点 $(1,2)$ 旋转 $30^\circ$。
   • $\bar{G}$ 的元素 $\bar{g}$ 是一个正交算子 (或正交矩阵)，它是一个线性变换，作用于向量空间 $V$ (即 $\mathbb{R}^2$)，并且固定原点。例如，$\bar{g}$ 可以是绕原点旋转 $30^\circ$ 的矩阵 $\begin{pmatrix} \cos 30^\circ & -\sin 30^\circ \\ \sin 30^\circ & \cos 30^\circ \end{pmatrix}$。
   • 这两者是根本不同的对象。$g$ 是一个仿射变换，而 $\bar{g}$ 是一个线性变换。
2. 符号约定:
   • 为了在视觉上明确区分这两者，教科书引入了一个约定。
   • 当一个符号，比如 $g$，代表 $G$ 中的一个元素（一个完整的等距变换）时，就直接写 $g$。
   • 当需要表示这个 $g$ 所对应的点群中的元素时，就在符号上加一个横杠，写作 $\bar{g}$。
   • 所以，关系是：$\bar{g} = \pi(g)$。
   • $\bar{g}$ 是一个正交算子/矩阵。

这段话详细解释了点群 $\bar{G}$ 中的旋转元素与原始群 $G$ 中旋转元素之间的关系。

1. 从 $G$ 到 $\bar{G}$:
   • 假设群 $G$ 中有一个元素 $g$。
   • 在之前的章节 (6.3.5) 中，我们知道任何一个保向的等距变换如果不是纯平移，那它就是一个旋转。它可以写成 $g = t_a \rho_\theta$ 的形式，其中 $\rho_\theta$ 是绕原点的旋转，而整个变换 $g$ 是绕某个点 $p$ 旋转角度 $\theta$。
   • 根据点群的定义，$\bar{g} = \pi(g) = \pi(t_a \rho_\theta)$。$\pi$ 的作用是提取线性部分，所以 $\bar{g} = \rho_\theta$。
   • 教科书在这里用 $\bar{\rho}_\theta$ 符号来强调这是一个点群中的元素，它就是那个绕原点的旋转 $\rho_\theta$。
   • 所以，如果 $G$ 中包含任何一个转角为 $\theta$ 的旋转（无论绕哪个点转），那么点群 $\bar{G}$ 中就必然包含那个标准的、绕原点旋转 $\theta$ 的元素 $\bar{\rho}_\theta$。
2. 从 $\bar{G}$ 回到 $G$ (逆像):
   • 现在反过来看。假设我们在点群 $\bar{G}$ 中发现了一个元素 $\bar{\rho}_\theta$。这意味着什么？
   • 这意味着，在原始群 $G$ 中，至少存在一个元素 $g$，使得 $\pi(g) = \bar{\rho}_\theta$。
   • 这个 $g$ 必然是一个旋转角度为 $\theta$ 的旋转，或者是滑移向量为零的滑移反射（也就是纯反射），但这里讨论的是旋转，所以它是旋转。
   • 逆像 (preimage): 在映射 $\pi: G \rightarrow \bar{G}$ 中，一个元素 $\bar{g} \in \bar{G}$ 的逆像指的是 $G$ 中所有被映射到 $\bar{g}$ 的元素的集合，记为 $\pi^{-1}(\bar{g})$。
   • 所以，$\pi^{-1}(\bar{\rho}_\theta)$ 这个集合，包含了 $G$ 中所有那些旋转角度恰好是 $\theta$ 的旋转变换。这些旋转的旋转中心可以各不相同。
   • 例如，如果 $g_1$ 是绕点 $p_1$ 转 $\theta$， $g_2$ 是绕点 $p_2$ 转 $\theta$，并且 $g_1, g_2$ 都在 $G$ 中，那么它们都在 $\bar{\rho}_\theta$ 的逆像集里。同时，如果 $t_v$ 是 $G$ 中的一个平移，那么 $t_v g_1$ 也是一个旋转角为 $\theta$ 的旋转，它也在 $G$ 中，也在这个逆像集里。

这一段将上一段对旋转的分析，平行地推广到变向变换——反射和滑移反射。

1. 回顾变向变换:
   • 一个标准的、过原点的反射，可以写成 $\rho_\theta r$ 的形式，其中 $r$ 是关于 x-轴的反射，$\rho_\theta$ 是一个旋转。这个复合变换 $\rho_\theta r$ 的效果是关于一条与 x-轴夹角为 $\theta/2$ 的直线 $\ell$ 的反射。
   • 一个一般的变向等距变换，如果它有不动点，就是一个反射。如果它没有不动点，就是一个滑移反射。
   • 任何一个变向等距变换 $g$ 都可以写成 $g = t_a \rho_\theta r$ 的形式。$g$ 的效果是沿着一条平行于 $\ell$ 的直线进行反射或滑移反射。
2. 从 $G$ 到 $\bar{G}$ (变向情况):
   • 假设 $G$ 中有一个变向变换 $g = t_a \rho_\theta r$。
   • 根据点群定义，$\bar{g} = \pi(g) = \pi(t_a \rho_\theta r)$。$\pi$ 提取线性部分，所以 $\bar{g} = \rho_\theta r$。
   • 教科书用 $\overline{\rho_\theta r}$ 来标记这个点群元素。它代表了一个标准的、过原点的、反射轴与 x-轴夹角为 $\theta/2$ 的反射。
   • 所以，如果 $G$ 中包含任何一个反射轴方向为 $\ell$ 的反射或滑移反射，那么点群 $\bar{G}$ 中就必然包含那个标准的、反射轴也是 $\ell$（平移到过原点）的反射元素 $\overline{\rho_\theta r}$。
3. 从 $\bar{G}$ 回到 $G$ (变向情况):
   • 反过来看，如果点群 $\bar{G}$ 中有一个反射元素 $\overline{\rho_\theta r}$，它的反射轴是 $\ell$。
   • 那么它的逆像 $\pi^{-1}(\overline{\rho_\theta r})$ 是什么呢？
   • 这个逆像集合包含了 $G$ 中所有那些线性部分是 $\rho_\theta r$ 的变换。
   • 这些变换就是所有沿着与 $\ell$ 平行的直线进行的反射和滑移反射。它们的反射轴可以不同（但必须平行），它们的滑移向量也可以不同（可以是零，即纯反射）。

这是一个对前面两段内容的精炼总结，一句话概括了点群 $\bar{G}$ 的核心作用。

• 点群 $\bar{G}$ 记录了什么信息？ 它是一个“摘要”或“目录”。
• 旋转角度: 如果你遍历点群 $\bar{G}$ 中所有的旋转元素，记下它们的旋转角度，你就得到了原始群 $G$ 中所有可能出现的旋转角度的完整列表。$\bar{G}$ 告诉你 $G$ 是否包含 $30^\circ$ 旋转、 $60^\circ$ 旋转等，但它不告诉你这些旋转发生在哪里。
• 滑移线的斜率: 如果你遍历点群 $\bar{G}$ 中所有的反射元素，记下它们的反射轴的斜率（方向），你就得到了原始群 $G$ 中所有滑移反射的滑移反射轴可能出现的所有方向的完整列表。
• 反射线的斜率: 同样地，这也记录了所有纯反射的反射轴可能出现的所有方向。

• 点群 $\bar{G}$ 丢失了什么信息？
• 平移信息: 所有的纯平移信息都丢失了，它们都被“坍缩”到了点群的单位元 $I$。
• 位置信息:
• 旋转的中心点位置信息丢失了。
• 反射/滑移反射的轴线具体位置信息丢失了。
• 滑移反射的滑移向量的大小和方向信息也丢失了（只留下了轴线方向）。

这个命题是关于点群 $\bar{G}$ 自身结构的一个重要结论。

命题陈述

1. 前提: $\bar{G}$ 是一个离散子群 $G$ 的点群。
2. 结论: 那么 $\bar{G}$ 必然是一个有限群 (finite group)。
3. 推论: 根据之前章节对 $O_2$ 的有限子群的分类 (定理 6.4.1)，$\bar{G}$ 必然是循环群 (cyclic group) $C_n$ 或二面体群 (dihedral group) $D_n$ 中的一种。

证明解析

1. 关键：$\bar{G}$ 继承了 $G$ 的离散性:
   • 原始群 $G$ 是离散的，这意味着 $G$ 中不包含任意小的非零旋转。即存在一个 $\epsilon > 0$，使得 $G$ 中任何旋转，其角度 $\theta$ 满足 $|\theta| \ge \epsilon$。
   • 点群 $\bar{G}$ 中的旋转元素 $\bar{\rho}_\theta$ 正是由 $G$ 中的旋转元素（角度为 $\theta$）映射过来的。
   • 因此，如果 $G$ 中没有角度小于 $\epsilon$ 的旋转，那么 $\bar{G}$ 中也不可能凭空出现一个角度小于 $\epsilon$ 的旋转。
   • 所以，点群 $\bar{G}$ 本身也是 $O_2$ 的一个离散子群（根据 $O_2$ 中子群离散的定义，即不包含任意小的旋转）。
2. 分析 $\bar{G}$ 中的旋转:
   • 考虑 $\bar{G}$ 中所有旋转元素所对应的角度集合，我们称这个集合为 $\Gamma$ (Gamma)。
   • $\Gamma = \{ \theta \in \mathbb{R} \mid \rho_\theta \in \bar{G} \}$。
   • 如果 $\rho_{\theta_1} \in \bar{G}$ 且 $\rho_{\theta_2} \in \bar{G}$，那么它们的复合 $\rho_{\theta_1+\theta_2} \in \bar{G}$，它们的逆 $\rho_{-\theta_1} \in \bar{G}$。这意味着角度集合 $\Gamma$ 在加法下构成 $\mathbb{R}$ 的一个子群。
   • 由于 $\bar{G}$ 是离散的，$\Gamma$ 中所有非零角度的绝对值都有一个正下限 $\epsilon$。这意味着 $\Gamma$ 是 $\mathbb{R}^+$ 的一个离散子群。
3. 应用一维离散子群分类:
   • 我们再次使用引理 6.4.6，它告诉我们 $\mathbb{R}^+$ 的离散子群只有两种形式：$\{0\}$ 或 $\mathbb{Z}\alpha$ (某个最小正元素的整数倍)。
   • 因为恒等变换（旋转 $0=2\pi$）总是在群里，所以 $\Gamma$ 中至少包含 $2\pi$ 的所有整数倍。所以 $\Gamma$ 非平凡。
   • 因此 $\Gamma$ 必须是 $\mathbb{Z}\theta_0$ 的形式，其中 $\theta_0$ 是 $\Gamma$ 中最小的正角度。
   • 又因为 $2\pi \in \Gamma$，所以 $2\pi$ 必须是 $\theta_0$ 的整数倍，即 $2\pi = n \theta_0$。
   • 这表明 $\theta_0 = 2\pi/n$ 对于某个整数 $n \ge 1$ 成立。
   • 所以，$\bar{G}$ 中所有旋转的角度都是 $2\pi/n$ 的整数倍。
4. 引用 $O_2$ 有限子群的分类:
   • 至此，我们已经证明了 $\bar{G}$ 中的旋转部分是有限的（只有 $n$ 个不同的旋转）。
   • 教科书作者说“此时，定理 6.4.1 的证明可以照搬”。定理 6.4.1 正是分类 $O_2$ 的所有有限子群的定理。其证明逻辑是：
   • 如果一个 $O_2$ 的子群的旋转部分是有限循环群 $C_n$，那么这个子群要么就是 $C_n$ 本身（如果它不包含任何反射），要么就是 $D_n$（如果它还包含一个反射）。
   • 没有其他可能性。
   • 因此，$\bar{G}$ 必然是 $C_n$ 或 $D_n$。

这一段是引入第三个分析工具——点群与平移群相互作用——的开场白。它首先处理了一个特殊情况，然后阐明了作用的舞台。

1. 特殊情况: 平移群 L 是平凡的
   • 平凡平移群: $L=\{0\}$。这意味着在群 $G$ 中，除了恒等变换外，没有任何纯粹的平移。
   • 同态 $\pi$ 是内射的: 回顾同态 $\pi: G \rightarrow \bar{G}$。它的核 $\ker(\pi)$ 是 $G$ 中所有被映射到单位元的元素，即 $\ker(\pi) = G \cap T = L$ (其中 $T$ 是所有平移的群)。
   • 如果 $L=\{0\}$，那么 $\ker(\pi)=\{I\}$（只包含恒等变换）。
   • 一个群同态的核只包含单位元，当且仅当这个同态是内射 (injective) 的（即一对一映射）。
   • $G$ 与 $\bar{G}$ 同构: 如果 $\pi: G \rightarrow \bar{G}$ 是一个内射的满射（根据 $\bar{G}$ 的定义，$\pi$ 到其像的映射总是满射），那么它就是一个同构 (isomorphism)。这意味着 $G$ 和 $\bar{G}$ 在代数结构上是完全一样的。
   • 结论: 在这种情况下，$G$ 本身就是一个循环群或二面体群（因为根据命题 6.5.10，$\bar{G}$ 是这两者之一）。这对应于那些只有旋转和反射对称、没有平移对称的图形，比如一个正五边形或一个孤立的风车图案。这些是有限的离散群。
2. 转向无限离散群:
   • 更有趣、更复杂的情况是当平移群 $L$ 不是平凡群时。这意味着 $G$ 至少包含一个非零平移，因此 $G$ 必然是一个无限群（因为它包含了 $\mathbb{Z}a$ 这样的无限子群）。壁纸图案的对称群就属于这类。
   • 此时，需要第三个分析工具，即研究 $\bar{G}$ 和 $L$ 之间的关系。
3. 作用的舞台:
   • $O_2$ 不直接作用于平面 $P$: 正交群 $O_2$ 的元素是 $2 \times 2$ 矩阵，它们是作用于向量的线性算子。一个平面 $P$ 是一个点的集合（仿射空间），它没有一个天生的“原点”。你不能直接用一个矩阵去乘一个“点”。
   • $O_2$ 作用于向量空间 $V$: 但是，$O_2$ 的矩阵可以完美地作用在平移向量空间 $V$ (即 $\mathbb{R}^2$) 上。如果 $A \in O_2$ 且 $v \in V$，那么 $Av$ 就是一个新的向量。
   • 联系: 平移群 $L$ 正是向量空间 $V$ 的一个子集。因此，我们可以研究点群 $\bar{G}$ (它是 $O_2$ 的一个子群) 的元素如何作用在平移群 $L$ 的向量上。

这是本节的核心命题，它精确地描述了点群 $\bar{G}$ 和平移群 $L$ 之间的相互作用。

命题陈述

1. 前提:
   • $G$ 是一个离散等距变换群。
   • $L$ 是 $G$ 的平移向量群。
   • $\bar{G}$ 是 $G$ 的点群。
   • $a$ 是 $L$ 中的任意一个平移向量。
   • $\bar{g}$ 是 $\bar{G}$ 中的任意一个正交算子。
2. 结论:
   • 将算子 $\bar{g}$ 作用在向量 $a$ 上得到的新向量 $\bar{g}(a)$，也必然在平移群 $L$ 中。

重新表述

1. $\bar{G}$ 将 $L$ 映射到自身: 因为结论对于 $L$ 中任意向量 $a$ 和 $\bar{G}$ 中任意元素 $\bar{g}$ 都成立，这意味着用 $\bar{G}$ 中的任何元素去变换整个集合 $L$，得到的新集合仍然是 $L$ 本身。即 $\bar{G}(L) = L$。这说明 $L$ 在 $\bar{G}$ 的作用下是不变的 (invariant)。
2. $\bar{G}$ 是 $L$ 的对称群的子群:
   • 我们可以把平移群 $L$ 本身看作是向量空间 $V$ 中的一个几何图形（一个由无穷多个点组成的图形）。
   • 一个图形的对称群，是所有能使该图形保持不变的正交变换的集合（这里我们只关心固定原点的对称性）。
   • 既然 $\bar{G}$ 的所有元素都能使 $L$ 保持不变，那么根据定义，$\bar{G}$ 必然是 $L$ 的对称群的一个子群。

这是对命题 6.5.11 的证明，它巧妙地运用了群共轭 (conjugation) 的性质。

证明思路

1. 目标: 我们要证明，如果 $a \in L$ 且 $\bar{g} \in \bar{G}$，那么新向量 $a' = \bar{g}(a)$ 也在 $L$ 中。
2. L 的定义: 要证明 $a' \in L$，根据 $L$ 的定义，我们只需要证明与之对应的平移变换 $t_{a'}$ 是原始群 $G$ 的一个元素，即 $t_{a'} \in G$。
3. 构造 $t_{a'}$: 证明的关键在于发现，$t_{a'}$ 可以通过 $G$ 中已知的元素构造出来。具体来说，它等于共轭 $g t_a g^{-1}$。
4. 共轭的性质: 在任何群中，如果 $x$ 和 $y$ 是群的元素，那么它们的共轭 $xyx^{-1}$ 也必然是群的元素（因为群在乘法和求逆下是封闭的）。
5. 应用共轭:
   • $a \in L \implies t_a \in G$。
   • $\bar{g} \in \bar{G} \implies$ 存在一个 $g \in G$ 使得 $\pi(g)=\bar{g}$。
   • 既然 $g \in G$ 且 $t_a \in G$，那么它们的共轭 $g t_a g^{-1}$ 必然也在 $G$ 中。
   • 现在，我们只需要计算出这个共轭到底是什么。如果它恰好就是 $t_{a'}$，那么证明就完成了。

计算共轭 $g t_a g^{-1}$

1. 分解 $g$: 任何一个等距变换 $g$ 都可以分解为一个正交变换 $\varphi \in O_2$ 和一个平移 $t_b$ 的复合。我们写 $g = t_b \varphi$。（注意：分解顺序很重要，这里是先旋转/反射，再平移）。
2. 联系 $g$ 和 $\bar{g}$: 根据点群的定义，$\bar{g} = \pi(g) = \pi(t_b \varphi) = \varphi$。所以 $\bar{g}$ 就是 $g$ 的线性部分 $\varphi$。
3. 联系 $a'$ 和 $\varphi$: 我们的目标向量 $a'$ 被定义为 $a'=\bar{g}(a)$。因为 $\bar{g}=\varphi$，所以 $a' = \varphi(a)$。
4. 代入并计算:
   • $g t_a g^{-1} = (t_b \varphi) t_a (t_b \varphi)^{-1}$
   • $(t_b \varphi)^{-1} = \varphi^{-1} (t_b)^{-1} = \varphi^{-1} t_{-b}$。
   • 所以表达式变为: $t_b \varphi t_a \varphi^{-1} t_{-b}$。
   • 核心步骤: 这里需要一个重要的共轭恒等式 (在教科书的公式 6.2.8 中给出): $\varphi t_a \varphi^{-1} = t_{\varphi(a)}$。这个恒等式的意思是，用一个旋转/反射 $\varphi$ 去共轭一个平移 $t_a$，得到的结果是一个新的平移，其平移向量恰好是原平移向量被 $\varphi$ 作用后的结果。
   • 将 $a'=\varphi(a)$ 代入此恒等式，我们得到 $\varphi t_a \varphi^{-1} = t_{a'}$。
   • 现在代回到主表达式中: $g t_a g^{-1} = t_b (t_{a'}) t_{-b}$。
   • 利用平移的复合规则: $t_b t_{a'} t_{-b} = t_{b+a'-b} = t_{a'}$。
5. 最终结论: 我们成功证明了 $g t_a g^{-1} = t_{a'}$。
   • 因为 $g, t_a \in G$，所以 $g t_a g^{-1} \in G$。
   • 所以 $t_{a'} \in G$。
   • 根据 $L$ 的定义，这意味着向量 $a'$ 必然在 $L$ 中。
   • 证明完毕。

这是一个非常重要的澄清说明，旨在防止一个常见的概念混淆。

1. 混淆点: 我们刚证明了点群 $\bar{G}$ 作用在平移群 $L$ 上并使其保持不变。一个很自然的想法是：是不是原始群 $G$ 也作用在 $L$ 上呢？
2. 为什么这个想法是错误的 (或者说无意义的):
   • 作用对象不同:
   • 群 $G$ 的元素 $g$ 是等距变换，它们的作用对象是点，这些点属于平面 $P$ (一个仿射空间)。
   • 平移群 $L$ 的元素 $a$ 是向量，这些向量属于向量空间 $V$ (一个线性空间)。
   • $P$ 和 $V$ 的区别: 平面 $P$ 是“无根的”，它没有一个特殊指定的原点。而向量空间 $V$ 有一个天生的、特殊的元素——零向量，也就是原点。你可以说“点(1,2)”，但也可以说“从原点指向(1,2)的向量”。这两个概念在选择一个原点之前是不同的。
   • 无意义的提问: 因此，问“一个作用于点的函数 $g$ 如何作用于一个向量 $a$”是没有直接意义的。你不能把一个函数 $g(p)=Ap+b$ 应用到一个孤立的向量 $a$ 上。
3. 如何让问题变得有意义:
   • 固定原点: 我们可以人为地在平面 $P$ 上选择一个点，并宣布它为“原点”。一旦我们这样做了，平面 $P$ 上的每个点 $p$ 就都可以与向量空间 $V$ 中的一个向量 $v$ (从我们选定的原点指向点 $p$ 的向量) 一一对应。这时，我们就可以将 $P$ 和 $V$ 等同 (identify) 起来。
   • 重新提问: 在将 $P$ 和 $V$ 等同之后，我们就可以问之前那个问题了：此时，$G$ 的元素 $g$ 是否将 $L$ (现在被看作平面上的一组点) 映射到自身呢？
4. 答案：不一定:
   • 这个问题的答案是“有时是，有时不是”，它取决于 $G$ 的性质以及我们选择哪个点作为原点。
   • 存在一个特殊点: 对于某些群 $G$，可能存在一个或多个特殊的点 $p_0$。如果你把 $p_0$ 选为原点，那么 $G$ 中的所有变换都会保持 $L$ 这个点集不变。这样的点通常是群的一个公共不动点或高对称点。
   • 不存在这样的点: 对于另一些群 $G$（比如滑移反射群），可能不存在任何一个点，使得你把它作为原点后，$G$ 的所有操作都能让 $L$ 保持不变。

这是本章乃至整个晶体学领域最著名的定理之一，晶体学限制 (Crystallographic Restriction Theorem)。它极大地限制了周期性结构（如晶体、壁纸图案）可能拥有的旋转对称性。

定理陈述

1. 前提:
   • $L$ 是一个离散子群，并且不平凡（即 $L \neq \{0\}$）。这意味着 $L$ 至少是一个一维格 $\mathbb{Z}a$ 或一个二维格 $\mathbb{Z}a+\mathbb{Z}b$。这代表了一个具有至少一个方向周期性的结构。
   • $H$ 是 $O_2$ 的一个子群，并且 $H$ 是 $L$ 的对称群的子群。这意味着 $H$ 中的所有变换（都是绕原点的旋转和反射）都使格 $L$ 保持不变。
   • 根据命题 6.5.11，我们知道任何一个离散群 $G$ 的点群 $\bar{G}$ 都满足这个条件（即 $\bar{G}$ 是 $L$ 的对称群的子群），所以这个定理直接适用于我们正在研究的点群 $\bar{G}$。
2. 结论 (a) - 对旋转阶的限制:
   • $H$ (因此也包括 $\bar{G}$) 中任何一个旋转操作，它的阶 (order) 只能是 1, 2, 3, 4 或 6。
   • 旋转的阶: 一个旋转的阶 $n$ 是指将这个旋转重复 $n$ 次后第一次回到恒等变换（旋转 $360^\circ$）的次数。旋转角度 $\theta = 2\pi/n$。
   • 所以，这个结论等价于说：在一个周期性结构中，可能存在的旋转对称性，其旋转角度只能是 $360^\circ/1=360^\circ$ (无对称), $360^\circ/2=180^\circ$ (二重), $360^\circ/3=120^\circ$ (三重), $360^\circ/4=90^\circ$ (四重), 或 $360^\circ/6=60^\circ$ (六重)。
3. 结论 (b) - 对整个群的限制:
   • 由于群 $H$ (或 $\bar{G}$) 是 $O_2$ 的一个子群，并且它的旋转阶受到了限制，那么 $H$ 只能是以下10个可能的群之一（称为晶体点群）：
   • 循环群: $C_1, C_2, C_3, C_4, C_6$
   • 二面体群: $D_1, D_2, D_3, D_4, D_6$
   • ($D_1$ 只有一个反射，与 $C_2$ 不同构但有时也被看作一类)
4. 重要的排除:
   • 最引人注目的结果是，阶为 5 的旋转被严格排除。这意味着，你不可能用正五边形的瓷砖严丝合缝地铺满整个地面。尝试一下就会发现，正五边形的内角是 $108^\circ$，三个拼在一起是 $324^\circ$ (有缝隙)，四个拼在一起是 $432^\circ$ (会重叠)。
   • 同样，阶为7或更高（$n=5, 7, 8, 9, 10, ...$）的旋转也都被排除了。
   • 因此，不存在具有五重、七重、八重等旋转对称性的“墙纸图案”（即周期性图案）。
5. 准周期图案:
   • 作者补充说明，虽然周期性的五重对称不存在，但存在一种更广义的、被称为准周期 (quasi-periodic) 的图案，它们可以具有五重对称性。最著名的例子是彭罗斯瓷砖 (Penrose tiling)。这些图案具有长程的有序性，但不是严格的周期性重复。它们的发现挑战了传统晶体学的观念，并引出了准晶体的概念（发现者获得了2011年诺贝尔化学奖）。

这是晶体学限制定理的证明，其论证简洁而深刻，完全基于离散性和最小长度向量的存在。

证明部分 (a): 限制旋转的阶

1. 前提和工具:
   • $L$ 是一个非平凡离散子群。
   • $\rho \in H$ 是一个角度为 $\theta$ 的旋转，且 $H$ 保持 $L$ 不变。
   • 工具1 (最小向量): 因为 $L$ 非平凡且离散，根据引理 6.5.7(b)，它必然包含一个长度最小的非零向量。我们称之为 $a$。$|a|$ 是 $L$ 中所有非零向量的最短长度。
   • 工具2 (H作用于L): 因为 $\rho \in H$ 且 $a \in L$，根据命题 6.5.11，$\rho(a)$ 这个新向量也必须在 $L$ 中。
2. 构造新向量 $b$:
   • 我们构造一个新向量 $b = \rho(a) - a$。
   • 因为 $a \in L$ 且 $\rho(a) \in L$，并且 $L$ 是一个加法群，所以它们的差 $b$ 也必然在 $L$ 中。
3. 利用 $a$ 的最小长度:
   • 现在我们有了新向量 $b \in L$。它的长度 $|b|$ 必须遵循 $L$ 的规则。
   • 如果 $b$ 不是零向量，那么它的长度必须大于或等于 $L$ 中最短非零向量的长度，即 $|b| \ge |a|$。
4. 几何分析 $|b|$ 的长度:
   • 向量 $a$ 和 $\rho(a)$ 的长度都是 $|a|$（因为旋转是等距变换）。它们之间的夹角是 $\theta$。
   • 向量 $b = \rho(a) - a$ 是连接向量 $a$ 终点和 $\rho(a)$ 终点的向量。
   • 这三个向量 $a, \rho(a), b$ 构成一个等腰三角形，两条腰的长度是 $|a|$，顶角是 $\theta$。底边长度就是 $|b|$。
   • 根据余弦定理， $|b|^2 = |a|^2 + |\rho(a)|^2 - 2|a||\rho(a)|\cos\theta = |a|^2 + |a|^2 - 2|a|^2\cos\theta = 2|a|^2(1-\cos\theta)$。
   • 所以 $|b| = |a| \sqrt{2(1-\cos\theta)}$。利用半角公式 $1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2)$，可得 $|b| = 2|a||\sin(\theta/2)|$。
5. 建立不等式并求解:
   • 我们必须满足 $|b| \ge |a|$。
   • $2|a||\sin(\theta/2)| \ge |a|$。
   • $2|\sin(\theta/2)| \ge 1 \implies |\sin(\theta/2)| \ge 1/2$。
   • 我们只考虑最小的正旋转角，所以 $0 < \theta \le \pi$。这意味着 $0 < \theta/2 \le \pi/2$，$\sin(\theta/2)$ 是正的。
   • $\sin(\theta/2) \ge 1/2$。
   • 在 $[0, \pi/2]$ 区间内，$\sin(x)$ 是增函数。$\sin(\pi/6) = 1/2$。
   • 所以，$\theta/2 \ge \pi/6 \implies \theta \ge \pi/3 = 60^\circ$。
   • 第一个重要结论: 任何与平移格相容的非零旋转，其角度必须至少是 $60^\circ$。
   • 推论: 如果旋转角 $\theta = 2\pi/n$，那么 $2\pi/n \ge \pi/3 \implies 6 \ge n$。所以旋转的阶 $n$ 不能超过6。
   • 这就证明了 $n$ 只能是 1, 2, 3, 4, 5, 6。

排除 $n=5$ (五重对称)

1. 情况: 阶为 5 的旋转对应角度 $\theta = 2\pi/5 = 72^\circ$。这个角度满足 $\theta \ge 60^\circ$，所以上面的论证无法排除它。需要更精细的论证。
2. 构造另一个向量 $b'$:
   • 我们构造 $b' = \rho^2(a) + a$。
   • $\rho^2$ 是旋转 $2\theta = 144^\circ$。$\rho^2(a)$ 也在 $L$ 中。
   • $a$ 也在 $L$ 中，所以 $b' = \rho^2(a) + a$ 也在 $L$ 中。
3. 几何分析 $|b'|$ 的长度:
   • $b'$ 是向量 $a$ 和向量 $\rho^2(a)$ 的和。在图中，这是以 $a$ 和 $\rho^2(a)$ 为邻边的平行四边形的对角线。
   • $a$ 和 $-\rho^2(a)$ 的夹角是 $180^\circ - 144^\circ = 36^\circ$。
   • $a$ 和 $\rho^2(a)$ 构成的等腰三角形，顶角是 $144^\circ$。$b'$ 是连接 $a$ 和 $-\rho^2(a)$ 的向量的长度。
   • 更简单地，看图。向量 $\rho^2(a)+a$ 的长度，可以通过几何关系看出它比 $|a|$ 要短。
   • 精确计算: $|b'|^2 = |a|^2 + |\rho^2(a)|^2 + 2|a||\rho^2(a)|\cos(144^\circ) = 2|a|^2(1+\cos(144^\circ))$。
   • $\cos(144^\circ) = -\cos(36^\circ) = -(\sqrt{5}+1)/4 \approx -0.809$。
   • $|b'|^2 = 2|a|^2(1 - (\sqrt{5}+1)/4) = 2|a|^2((3-\sqrt{5})/4)$。
   • $|b'|/|a| = \sqrt{(3-\sqrt{5})/2} \approx \sqrt{(3-2.236)/2} \approx \sqrt{0.382} < 1$。
   • 所以 $|b'| < |a|$。
4. 导出矛盾: 我们找到了一个在 $L$ 中的向量 $b'$，它的长度比我们假定的“最短非零向量” $a$ 还要短。这是一个矛盾。
5. 结论: 因此，阶为 5 的旋转是不可能存在的。

证明部分 (b): 限制群的类型

• 这部分很简单。我们已经证明了 $H$ 中的旋转阶只能是 $n=1,2,3,4,6$。
• 命题 6.5.10 已经证明了这样的群 $\bar{G}$ (或 $H$) 必然是 $C_n$ 或 $D_n$。
• 将两个结论结合，就得到 $H$ 必然是 $C_n$ 或 $D_n$，其中 $n \in \{1,2,3,4,6\}$。